3분 정리: EBICglasso는 왜 부분상관인가

View in English

결론부터: EBICglasso는 상관계수의 네트워크를 그리지 않습니다. 그것이 그리는 것은 *정규화된 부분상관(regularized partial correlation)*의 네트워크입니다 — 각 엣지는 모형 안의 다른 모든 증상을 통제한 뒤 남는 두 증상 간 연관이며, Extended Bayesian Information Criterion(EBIC)으로 강도가 선택된 lasso 벌점에 의해 0 쪽으로 수축됩니다. “원상관이 아니라 부분상관”이라는 이 설계 하나가, 결과 그래프를 공유분산 덩어리가 아닌 직접 관계의 지도로 읽을 수 있게 만듭니다. 대가도 있습니다: 약한 진짜 엣지는 지워지고, 엣지 가중치는 0 쪽으로 편향됩니다. 어떤 네트워크 그림이든 — 저희 것을 포함해서 — 신뢰하기 전에 이 이득과 비용을 함께 이해할 필요가 있습니다.

지난 글의 말미에서 약속했습니다: EBICglasso의 상자를 열어 실제로 무엇을 하는지 — 왜 부분상관이고, 왜 정규화이며, 무엇이 희생되는지 — 살펴보겠다고. 이 글이 그 약속입니다. 3분, 그림 한 장, 얼버무림 없이.

원상관의 문제

우울 증상 9개(PHQ-9)를 예로 듭니다. 모든 쌍별 상관을 계산해 엣지를 그리면 거의 완전 그래프가 나옵니다: 가능한 엣지 36개 중 대부분이 양(+)의 0이 아닌 값입니다. 왜일까요? 우울 증상들은 여러 겹치는 이유로 분산을 공유하기 때문입니다 — 공통 원인, 간접 경로, 문항 중복. 피로와 집중 곤란 사이의 0차 상관(zero-order correlation)에는 최소 세 가지가 섞여 있습니다:

  1. 직접 관계의 가능성 (탈진이 실제로 집중을 저해),
  2. 간접 경로 (피로 → 우울 기분 → 집중), 그리고
  3. 시스템 내 다른 곳의 공유 원인 (수면 문제가 둘 다를 유발).

원상관으로 그린 네트워크는 이 셋을 구분하지 못합니다. 모든 간접 경로가 엣지로 나타나므로, 그래프가 말해주는 것은 “이 증상들은 함께 나타난다” 이상이 아닙니다 — 이미 알던 사실이지요.

부분상관이란 무엇인가

증상 A와 B의 부분상관은 네트워크 안의 다른 모든 증상을 통계적으로 통제한 후 남는 둘 사이의 연관입니다. 피로–집중 링크가 나머지 PHQ-9 7개 문항을 조건화한 뒤에도 살아남는다면, 그것은 둘 사이의 직접적 의존 관계 — 측정된 시스템의 나머지로는 완전히 설명되지 않는 관계 — 에 대한 증거(증명은 아님)입니다.

형식적으로, 다변량 정규성 하에서 부분상관은 표준화된 역공분산행렬(정밀행렬, precision matrix)의 비대각 원소에 대응합니다 (부호 반전 포함: −ωij/√(ωiiωjj)). 정밀행렬의 0은 조건부 독립을 뜻합니다: 다른 변수들을 알고 나면 A는 B에 대해 아무것도 더 말해주지 않는다는 것. 이것이 Gaussian graphical model(GGM)이며, Borsboom–Cramer 전통의 심리측정 “증상 네트워크”가 실제로 추정하는 통계적 대상입니다 (Epskamp, Borsboom & Fried, 2018).

해석의 격상은 실재합니다: GGM의 엣지는 직접 관계의 후보 — 한 증상이 다른 증상에 영향을 미칠 수 있는 그럴듯한 경로 — 입니다. 정신장애 네트워크 이론이 필요로 하는 독법이 바로 이것입니다.

같은 PHQ-9 데이터: 밀집한 0차 상관 네트워크(좌) vs. 희소한 EBICglasso 부분상관 네트워크(우)

그림 1. 같은 데이터, 두 개의 그래프 (합성 예시). 조건화는 공유분산을 제거하고, 정규화는 잡음을 제거한다.

왜 정규화까지 하는가

여기에 함정이 있습니다. 표본 부분상관은 잡음이 많습니다 — 변수 p개면 p(p−1)/2개의 모수를 추정하는데, 표본이 크지 않으면 그중 다수가 순전히 우연으로 작지만 0이 아닌 값이 됩니다. 따라서 정규화하지 않은 부분상관 네트워크 역시 밀집합니다. 공유분산 대신 잡음으로 밀집할 뿐이지요.

Graphical lasso(glasso; Friedman, Hastie & Tibshirani, 2008)는 정밀행렬을 L1 벌점 하에서 추정하여 이를 해결합니다: 우도에서 λ × (원소 절댓값의 합)을 뺀 값을 최대화합니다. L1의 기하학이 갖는 독특한 결과 — 작은 추정치를 단지 줄이는 것이 아니라 정확히 0으로 만듭니다. 그 결과, 살아남은 엣지들이 벌점을 이겨내고 자리를 차지한 희소 네트워크가 나옵니다.

EBIC의 역할

벌점 λ는 다이얼입니다: 올리면 네트워크가 비어가고, 내리면 엣지가 다시 밀려듭니다. EBICglasso는 네트워크의 경로(path) 전체를 적합한 뒤 Extended BIC를 최소화하는 것을 선택합니다 (Foygel & Drton, 2010; qgraph 구현). EBIC는 보통의 BIC보다 모형 복잡성을 더 벌하는 하이퍼파라미터 γ(qgraph/bootnet 기본값 0.5)를 추가합니다: γ가 높을수록 더 희소하고 보수적인 네트워크를 선호합니다.

설계 의도는 비대칭적입니다: γ = 0.5의 EBICglasso는 민감도보다 특이도를 우선하도록 조율되어 있습니다 — 거짓 엣지를 보고하느니 약한 진짜 엣지를 놓치는 쪽을 택합니다 (Epskamp & Fried, 2018). 네트워크 그림이 실질적으로 읽히는 분야에서 이는 방어 가능한 기본값입니다: 보여주는 엣지는 책임질 수 있는 엣지여야 하니까요.

무엇을 희생하는가

공짜는 없고, 실무에서 중요한 비용은 셋입니다:

1. 약한 진짜 엣지가 사라집니다. 잡음을 억제하는 바로 그 보수성이 실제로 존재하는 약한 의존 관계도 지웁니다. EBICglasso 네트워크에서 엣지의 부재는 조건부 독립의 증거가 아닙니다 — 해당 표본 크기에서 벌점을 이기기에 너무 약했을 뿐일 수 있습니다.

2. 엣지 가중치가 0 쪽으로 편향됩니다. Lasso 수축은 그려진 엣지 가중치가 모집단 부분상관을 체계적으로 과소평가함을 뜻합니다. 서로 다른 표본에서 추정된 네트워크의 가중치를 그대로 비교하는 것은 보기보다 위험합니다.

3. 결과가 추정 선택에 의존합니다. γ, 상관 입력(Pearson vs. cor_auto의 polychoric), 표본 크기, 심지어 노드 수까지 — 어떤 엣지가 나타날지를 모두 좌우합니다. 비슷한 데이터를 다른 기본값으로 분석한 두 연구실이 눈에 띄게 다른 네트워크를 출판할 수 있습니다. 스캔들이 아니라, 설정을 보고하고 안정성을 정량화해야 할 이유입니다 — 바로 다음 글이 향하는 곳입니다.

기록용: R 세 줄

위 파이프라인 전체는 R에서 세 번의 호출입니다:

library(qgraph)
cors <- cor_auto(data)                     # polychoric 대응 상관
net  <- EBICglasso(cors, n = nrow(data),   # glasso 경로 + EBIC 선택
                   gamma = 0.5)
qgraph(net, layout = "spring")             # 익숙한 그 그림

저희가 게시하는 모든 네트워크 그림은 이 도구군(qgraph, bootnet)으로, 공개 데이터에서, 출처와 설정을 명시해 산출됩니다 — 이 문헌에서는 추정 선택 자체가 결과의 일부이기 때문입니다.

다음 글

희소한 정규화 네트워크는 “어떤 엣지가 살아남는가?“에는 답하지만 “그 엣지를 얼마나 믿어야 하는가?“에는 답하지 않습니다. 다음 글은 두 번째 질문을 다룹니다: 부트스트랩 신뢰구간과 CS-coefficient — 발견(finding)인 네트워크와 로르샤흐 검사인 네트워크의 차이.

본 글은 네트워크 구조를 기술(description)할 뿐, 진단 지침이나 치료 권고가 아닙니다.

참고문헌

  • Epskamp, S., Borsboom, D., & Fried, E. I. (2018). Estimating psychological networks and their accuracy: A tutorial paper. Behavior Research Methods, 50(1), 195–212.
  • Epskamp, S., & Fried, E. I. (2018). A tutorial on regularized partial correlation networks. Psychological Methods, 23(4), 617–634.
  • Friedman, J., Hastie, T., & Tibshirani, R. (2008). Sparse inverse covariance estimation with the graphical lasso. Biostatistics, 9(3), 432–441.
  • Foygel, R., & Drton, M. (2010). Extended Bayesian information criteria for Gaussian graphical models. Advances in Neural Information Processing Systems, 23.